Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

Содержание

Совместные действия с целыми числами и десятичными дробями (урок, направленный на экономическое воспитание)

Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

Цели:

  • Формировать вычислительные навыки совместных действий с целыми числами и десятичными дробями; умения применять полученные знания в повседневной жизни.
  • Корригировать мыслительные процессы на основе упражнений в сравнении, в классификации, в исключении лишнего числа, в анализе и синтезе.
  • Воспитывать мотивацию к обучению, самоконтроль, готовить учащихся с ограниченными возможностями здоровья к непосредственному включению в жизнь, в трудовую деятельность в условиях современного производства и современных рыночных отношений.

Оборудование

:материал учебника, доски, рабочие тетради, карточки с целыми числами и десятичными дробями, разрезные открытки, картинки с изображением продуктов питания. Ход урока

1. Организационный момент

1. Проверка готовности учащихся к уроку (наличие учебников, школьных принадлежностей, внешнего вида)

2. Актуализация знаний

1. Вступительная беседа.

  1. Назовите главный предмет изучения математики. (Числа.) Из чего состоят числа? (Из цифр.)
  2. Сколько всего цифр существует? (9.) Какая цифра придумана человеком? (0.)
  3. Назовите самое маленькое двузначное число (10.

    ) Сколько в нём разрядных десятков? (1.) Сколько в нём всего десятков? (1.)

  4. Какое самое большое число встречается у нас на уроках? (1 000 000.) К какому классу оно относится? (К классу миллионов.)
  5. Для чего мы учимся? (Чтобы приобретать знания.

    )

  6. Для чего нам нужны знания? (Чтобы пользоваться ими.)

2. Работа с числами.

На доске прикреплены карточки с числами.

– Посмотрите на доску и глазами прочитайте числа, которые записаны на карточках:

1 254; 0,521; 348,6; 93; 348; 7, 01; 82 500; 15 р. 30 к.;

0,001.

– Прочитать вслух.

– На какие две группы можно распределить эти числа? (На целые числа и десятичные дроби.)

(Расположить карточки с числами в 2 колонки.)

– По какому признаку распределили числа на группы? (Отвтеы детей.)

– К какой группе можно отнести число 15 р. 30 к.?

– Как его можно записать по-другому? (15, 3 р.) (Это число можно отнести как к десятичным дробям, так и к целым числам.)

– То есть, целые числа и десятичные дроби тесно между собой связаны.

3. Выявление их сходства и различия.

Чем похожи они между собой?

– Расположить все эти числа по порядку: от меньшего – к большему. (Переместить карточки на доске: целые числа – в правую сторону, десятичные дроби – в левую)

– Значит, чем же ещё эти числа похожи?

  • И целые числа, и десятичные дроби имеют своё место в числовом ряду. Мы их можем сравнивать и помещать в один ряд с целыми числами.

1. Составить примеры, решить их (прикреплять нужные ответы) и расшифровать запись.

На доске:

2. Самостоятельная работа

– Работа с разрезной картинкой. Даются дифференцированные задания на устный счёт с целыми числами и десятичными дробями (4 вида заданий: учащимся III и IV уровня – на красных карточках с более сложными примерами; ребятам, испытывающим затруднения – на синих и жёлтых и самому слабому – на зелёной).

– Самопроверка. Результатом правильного решения является сложенная открытка с изображением продуктов питания.

Индивидуальная работа с затрудняющимися.

(Перемена – 5 минут).

4. Сообщение темы и цели урока

– Сегодня на уроке мы будем работать над темой: “Совместные действия с целыми числами и десятичными дробями”, формировать вычислительные навыки по этой теме и учиться применять свои знания в решении жизненных задач.

– Запись темы в тетрадь.

– Какие картинки у вас получились на разрезных открытках? (Продукты питания.)

– Какие продукты питания самые необходимые? (Хлеб, молоко, и т. д.)

– Знаете ли вы, сколько стоят эти продукты питания? (Выясняется, какие продукты питания относятся к основным и почему, их цены.)

  • Кефир? (Вывешивается картинка с ценником – 21 р. 60 к.)
  • Молоко – (картинка – 20 р. 60 к.)
  • Творог (картинка – 86 р.)
  • Колбаса (180 р.)
  • Хлеб (13 р.)
  • Чай (26 р.)
  • Масло сливочное (94 р.)
  • Масло растительное (45 р.)
  • Крупы (22 р.)
  • Яблоки (60 р.)
  • Мороженое (10 р.)
  • Сахар (24 р. 30 к.)
  • Карамель (75 р.)

– Где вы встречаетесь с подобными числами? (в магазине при покупке продуктов питания)

1. Составление и решение простых задач по картинкам:

2. Решение составной задачи (текст задачи расположен на карточках):

У тебя…. (вставляют своё число, например, 100 р.) рублей. Тебе необходимо купить 1 булку хлеба, 300 г масла и пакет кефира. Останутся ли у тебя деньги? Если останутся, то сколько?

– Чтение задачи “про себя”

– Разбор содержания и установление связей между числовыми данными.

Краткая запись:

Решение:

1) 94 : 10 х 3 = 28, 2 (р.) – масло 2) 13 + 28, 2 + 21, 60 = 62, 80 (р.) – вся покупка

3) 100 – 62, 80 = 37, 20 (р.) – остаток

Ответ: 37 рублей 20 копеек останется.

– Отличаются ли арифметические действия с целыми числами и десятичными дробями?

  • Алгоритм выполнения арифметических действий с целыми числами и десятичными дробями одинаков.

5. Закрепление

1). Запись примера на доске:

(325 310 – 36 798) : 32 + 0,805 х 24 =

а) Расставить порядок действий.

  • Порядок действий с целыми числами и десятичными дробями расставляется одинаково.

б) Фронтальное решение примера.

(Индивидуальная работа – карточка)

6. Итог урока

– Вот мы и выяснили, что общего между целыми числами и десятичными дробями. (Повторить).

Выставление оценок.

Литература

  1. Программы специальных (коррекционных) общеобразовательных учреждений VIII вида 5–9 классы. Сборник №1. – М.: Владос, 2000.
  2. Перова М.Н. Методика преподавания математики в коррекционной школе. – М.

    : Владос, 1999.

  3. Паничковская О.Г. Обобщающий урок по теме “Десятичные дроби” / Фестиваль педагогических идей “Открытый урок” (учитель математики МОУ СОШ № 8, г. Усть-Илимск, Иркутской обл.), 2005–2006 гг.

8.

02.2011

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/590552/

Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

26.09.2019

Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно “не очень…”

И для тех, кто “очень даже…”)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто. И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую(это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями – ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе – и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо!

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями – аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей – переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза!Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все – проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось – рад за вас! Элементарные вычисления с дробями – не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В данном разделе рассматриваются действия с обыкновенными дробями. В случае, если необходимо провести математическую операцию со смешанными числами, то достаточно перевести смешанную дробь в необыкновенную, провести необходимые операции и, в случае необходимости, конечный результат снова представить в виде смешанного числа. Данная операция будет описана ниже.

Сокращение дроби

Математическая операция. Сокращение дроби

Чтобы сократить дробь \frac{m}{n} нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя: НОД(m,n), после чего поделить числитель и знаменатель дроби на это число. Если НОД(m,n)=1, то дробь сократить нельзя. Пример: \frac{20}{80}=\frac{20:20}{80:20}=\frac{1}{4}

Обычно сразу найти наибольший общий делитель представляется сложной задачей и на практике дробь сокращают в несколько этапов, пошагово выделяя у числителя и знаменателя очевидные общие множители. \frac{140}{315}=\frac{28\cdot5}{63\cdot5}=\frac{4\cdot7\cdot5}{9\cdot7\cdot5}=\frac{4}{9}

Приведение дробей к общему знаменателю

Математическая операция. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} к общему знаменателю нужно:

  • найти наименьшее общее кратное знаменателей: M=НОК(b,d);
  • умножить числитель и знаменатель первой дроби на M/b (после чего знаменатель дроби становится равным числу M);
  • умножить числитель и знаменатель второй дроби на M/d (после чего знаменатель дроби становится равным числу M).

Тем самым мы преобразуем исходные дроби к дробям с одинаковыми знаменателями (которые будут равны числу M).

Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} имеют НОК(6,9) = 18. Тогда: \frac{5}{6}=\frac{5\cdot3}{6\cdot3}=\frac{15}{18};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot2}{9\cdot2}=\frac{8}{18} . Тем самым полученные дроби имеют общий знаменатель.

На практике нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей является не всегда простой задачей. Поэтому в качестве общего знаменателя выбирается число, равное произведению знаменателей исходных дробей. Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} приводятся к общему знаменателю N=6\cdot9:

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot9}{6\cdot9}=\frac{45}{54};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot6}{9\cdot6}=\frac{24}{54}

Сравнение дробей

Математическая операция. Сравнение дробей

Для сравнения двух обыкновенных дробей необходимо:

  • сравнить числители получившихся дробей; дробь с большим числителем будет больше.

Например, \frac{9}{14}

При сравнении дробей имеются несколько частных случаев:

  1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, \frac{3}{15}
  2. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, \frac{4}{11}>\frac{4}{13}
  3. Та дробь, у которой одновременно больший числитель и меньший знаменатель, больше. Например, \frac{11}{3}>\frac{10}{8}

Внимание! Правило 1 действует для любых дробей, если их общий знаменатель является положительным числом. Правила 2 и 3 действуют для положительных дробей (у которых и числитель и знаменатель больше нуля).

Сложение и вычитание дробей

Математическая операция. Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить две дроби, нужно:

  • привести их к общему знаменателю;
  • сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Пример: \frac{7}{9}+\frac{4}{7}=\frac{7\cdot7}{9\cdot7}+\frac{4\cdot9}{7\cdot9}=\frac{49}{63}+\frac{36}{63}=\frac{49+36}{63}=\frac{85}{63}

Чтобы из одной дроби вычесть другую, нужно:

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример: \frac{4}{15}-\frac{3}{5}=\frac{4}{15}-\frac{3\cdot3}{5\cdot3}=\frac{4}{15}-\frac{9}{15}=\frac{4-9}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{5}{3\cdot5}=-\frac{1}{3}

Если исходные дроби изначально имеют общий знаменатель, то пункт 1 (приведение к общему знаменателю) пропускается.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно

Математическая операция. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, достаточно просуммировать целую часть смешанной дроби с дробной частью.

Результатом такой суммы станет неправильная дробь, числитель которой равен сумме произведения целой части на знаменатель дроби с числителем смешанной дроби, а знаменатель останется прежним.

Например, 2\frac{6}{11}=2+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11}{11}+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11+6}{11}=\frac{28}{11}

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число необходимо:

  • поделить числитель дроби на ее знаменатель;
  • остаток от деления записать в числитель, а знаменатель оставить прежним;
  • результат от деления записать в качестве целой части.

Например, дробь \frac{23}{4} . При делении 23:4=5,75, то есть целая часть 5, остаток от деления равен 23-5*4=3. Тогда смешанное число запишется: 5\frac{3}{4} . \frac{23}{4}=\frac{5\cdot4+3}{4}=5\frac{3}{4}

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Математическая операция. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо:

  1. в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти (здесь n – количество десятичных знаков);
  2. в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки (если целая часть исходного числа не равна нулю, то брать в том числе и все стоящие впереди нули);
  3. отличная от нуля целая часть записывается в числителе в самом начале; нулевая целая часть опускается.

Пример 1: 0.0089=\frac{89}{10000} (десятичных знаков 4, поэтому в знаменателе 10 4 =10000, поскольку целая часть равна 0, то в числителе записано число после десятичной точки без начальных нулей)

Пример 2: 31.0109=\frac{310109}{10000} (в числитель записываем число после десятичной точки со всеми нулями: “0109”, а затем перед ним дописываем целую часть исходного числа “31”)

Если целая часть десятичной дроби отлична от нуля, то её можно перевести в смешанную дробь. Для этого переводим число в обыкновенную дробь как если бы целая часть равнялась нулю (пункты 1 и 2), а целую часть просто переписываем перед дробью – это будет целая часть смешанного числа. Пример:

3.014=3\frac{14}{100}

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, достаточно просто произвести деление числителя на знаменатель. Иногда получится бесконечная десятичная дробь. В этом случае необходимо произвести округление до нужного десятичного знака. Примеры:

\frac{401}{5}=80.2;\quad \frac{2}{3}\approx0.6667

Умножение и деление дробей

Математическая операция. Умножение и деление дробей

Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей.

\frac{5}{9}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5\cdot7}{9\cdot2}=\frac{35}{18}

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (обратная дробь – дробь, в которой поменяны местами числитель и знаменатель).

\frac{5}{9}:\frac{7}{2}=\frac{5}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{5\cdot2}{9\cdot7}=\frac{10}{63}

В случае, если одна из дробей является натуральным числом, то указанные выше правила умножения и деления остаются в силе. Просто нужно учитывать, что целое число это та же дробь, знаменатель которой равен единице. Например: 3:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3\cdot7}{1\cdot3}=\frac{7}{1}=7

Ох уж эти дроби! В средней школе на математических уроках именно арифметические действия с дробями и задачи, где в условиях мелькают числа с числителями и знаменателями, становятся препятствием, которое многие школьники преодолевают с трудом.

Запоминание и использование достаточно простых правил, которым подчиняются действия с дробями, для некоторых учеников становятся непреодолимым препятствие к хорошим оценкам по математике.

Так как решать задачи с дробями? Это возможно, если понять правильно, что такое дробь.

Для наглядного примера возьмем обычный торт. Вы ожидаете гостей в количестве семи человек на праздник. Торт у вас один. Значит, поделить его необходимо на восьмерых (гости плюс именинник). Вы разрезали торт на равные части.

Каждая из данных частей – это всего 1/8 от целого пирога. Вышла простая натуральная дробь, где 1 – это числитель, а 8 – знаменатель. Кто-то из гостей отказался от пирога, и вы решили взять себе еще один кусочек.

Теперь вышло 2 куска от восьми частей пирога или 2/8.

Вдруг все ваши гости сидят на диетах, худеют и не желают есть торт? Тогда вам достается восемь частей из восьми (8/8), то есть, один целый торт!

Дроби, где числитель меньше знаменателя, называются правильными. А те, где больше числитель – неправильными.

Задачи с натуральными дробями
Задачи, в которых фигурируют натуральные дроби, чаще всего предполагают действия с ними.

Самый легкий вариант такой задачи – это нахождение доли числа, которое выражено дробью. Вам вручили 6 килограмм яблок. 2/3 их них вы должны оставить на приготовление начинки для пирога.

Умножаем 6 на 2, затем делим на 3. В результате имеем 4 кило, нужных для начинки.

Если стоит сложная задача найти число по его части, умножайте часть числа на дробь, поменяв местами числитель и знаменатель. Вот есть 6 килограмм яблок. Это 3/5 от общего количества яблок, собранных с вашей яблони. Значит, 6 умножаем быстро на 5 и делим на 3. Выходит 10 килограмм.

Как осуществляется деление и умножение дробей? Здесь правила просты. Умножая дробь на дробь, мы производим действия с числителями и знаменателями. Допустим, необходимо 2/3 умножить на 5/6.

Число 2 умножаем на 5, а 3 умножаем на 6. Результат: 10/18. Если надо умножить дробь на целое число, просто перемножьте само число и числитель дроби. Так 3*4/7=12/7.

Переводим дробь в правильную: 12/7=1 и 5/7.

Источник: https://www.medilo.ru/ent-surgery/kak-reshat-dvoinye-drobi-ostatok-vsegda-menshe-delitelya.html

Деление десятичных дробей: правила, примеры, решения, как целое число разделить на десятичную дробь

Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

В этой статье мы разберем такое важное действие с десятичными дробями, как деление.

Сначала сформулируем общие принципы, затем разберем, как правильно выполнять деление десятичных дробей столбиком как на другие дроби, так и на натуральные числа.

Далее мы разберем деление обыкновенных дробей на десятичные и наоборот, а в конце посмотрим, как правильно выполнять деление дробей, заканчивающихся на 0,1, 0,01, 100, 10 и др.

Здесь мы возьмем только случаи с положительными дробями. Если же перед дробью стоит минус, то для действия с ней нужно изучить материал о делении рациональных и действительных чисел.

Основы деления десятичных дробей

Все десятичные дроби, как конечные, так и периодические, представляют из себя всего лишь особую форму записи обыкновенных дробей.

Следовательно, на них распространяются те же принципы, что и на соответствующие им обыкновенные дроби.

Таким образом, весь процесс деления десятичных дробей мы сводим к замене их на обыкновенные с последующим вычислением уже известными нам способами. Возьмем конкретный пример.

Пример 1

Разделите 1,2 на 0,48.

Решение

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных. У нас получится:

1,2=1210=65

0,48=48100=1225.

Таким образом, нам надо разделить 65 на 1225. Считаем:

1,2:0,48=62:1225=65·2512=6·255·12=52

Из получившейся в итоге неправильной дроби можно выделить целую часть и получить смешанное число 212, а можно представить ее в виде десятичной дроби, чтобы она соответствовала исходным цифрам: 52=2,5. О том, как это сделать, мы уже писали ранее.

Ответ: 1,2:0,48=2,5. 

Пример 2

Посчитайте, сколько будет 0,(504)0,56.

Решение

Для начала нам нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

0,(504)=0,5041-0,001=0,5040,999=504999=56111

После этого конечную десятичную дробь также переведем в другой вид: 0,56=56100. Теперь у нас есть два числа, с которыми нам будет легко провести необходимые вычисления:

0,(504):1,11=56111:56100=56111·10056=100111

У нас получился результат, который мы также можем перевести в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель, используя метод столбика:

Ответ: 0,(504):0,56=0,(900). 

Если же в примере на деление нам встретились непериодические десятичные дроби, то мы будем действовать немного иначе.

Мы не можем их привести к привычным обыкновенным дробям, поэтому при делении приходится предварительно округлять их до определенного разряда.

Это действие должно быть выполнено как с делимым, так и с делителем: имеющуюся конечную или периодическую дробь в интересах точности мы тоже будем округлять.

Пример 3

Найдите, сколько будет 0,779…/1,5602.

Решение 

Первым делом мы округляем обе дроби до сотых. Так мы переходим от бесконечных непериодических дробей к конечным десятичным:

0,779…≈0,78

1,5602≈1,56

Можем продолжить подсчеты и получить примерный результат: 0,779…:1,5602≈0,78:1,56=78100:156100=78100·100156=78156=12=0,5.

Точность результата будет зависеть от степени округления.

Ответ: 0,779…:1,5602≈0,5.

Как разделить натуральное число на десятичную дробь и наоборот

Подход к делению в этом случае практически аналогичен: конечные и периодические дроби заменяем обыкновенными, а бесконечные непериодические округляем. Возьмем для начала пример деления с натуральным числом и десятичной дробью.

Пример 4

Разделите 2,5 на 45.

Решение

Приведем 2,5 к виду обыкновенной дроби: 25510=512. Далее нам надо просто разделить ее на натуральное число. Делать это мы уже умеем:

25,5:45=512:45=512·145=1730

Если перевести результат в десятичную запись, то мы получим 0,5 (6).

Ответ: 25,5:45=0,5(6).

Как разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком

Метод деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии мы можем использовать его и для дробей. Ниже мы укажем последовательность действий, которую нужно для этого осуществить.

Определение 1

Для деления столбиком десятичных дробей на натуральные числа необходимо:

1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).

2. Разделить столбиком десятичную дробь на натуральное число, используя алгоритм. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.

Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться, то ответом будет периодическая дробь.

Возьмем для примера несколько задач и попробуем выполнить эти шаги уже с конкретными числами.

Пример 5

Вычислите, сколько будет 65,144.

Решение

Используем метод столбика. Для этого допишем к дроби два нуля и получим десятичную дробь 65,1400, которая будет равна исходной. Теперь пишем столбик для деления на 4:

Полученное число и будет нужным нам результатом деления целой части. Ставим запятую, отделяя ее, и продолжаем:

Мы добрались до нулевого остатка, следовательно, процесс деления завершен.

Ответ: 65,14:4=16,285.  

Пример 6

Разделите 164,5 на 27.

Решение 

Делим сначала дробную часть и получаем:

Отделяем полученную цифру запятой и продолжаем делить:

Мы видим, что остатки стали периодически повторяться, и в частном стали чередоваться цифры девять, два и пять. На этом мы остановимся и запишем ответ в виде периодической дроби 6,0(925).

Ответ: 164,5:27=6,0(925).

Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую

Такое деление можно свести к уже описанному выше процессу нахождения частного десятичной дроби и натурального числа. Для этого нам потребуется умножить делимое и делитель на 10, 100 и др.

так, чтобы делитель превратился в натуральное число. Дальше выполняем описанную выше последовательность действий. Такой подход возможен благодаря свойствам деления и умножения.

В буквенном виде мы записывали их так:

a:b=(a·10):(b·10), a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Сформулируем правило:

Определение 2

Для деления одной конечной десятичной дроби на другую необходимо:

1. Перенести запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, допишем в него нули с правой стороны.

2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.

Разберем конкретную задачу.

Пример 7

Разделите 7,287 на 2,1.

Решение: Чтобы делитель стал натуральным числом, нам надо перенести запятую на один знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 72,87 на 21. Запишем полученные числа столбиком и вычислим

Ответ: 7,287:2,1=3,47

Пример 8

Вычислите 16,30,021.

Решение

Нам придется переносить запятую на три знака. В делителе для этого не хватит цифр, значит, нужно воспользоваться дополнительными нулями. Считаем, что получится в итоге:

Видим периодическое повторение остатков 4, 19, 1, 10, 16, 13. В частном повторяются 1, 9, 0, 4, 7 и 5. Тогда наш результат является периодической десятичной дробью 776,(190476).

Ответ: 16,3:0,021=776,(190476)​​​​​​

Описанный нами метод позволяет делать и наоборот, то есть делить натуральное число на конечную десятичную дробь. Посмотрим, как это делается.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 3 5,4.

Решение

Очевидно, что нам придется перенести запятую вправо на один знак. После этого мы можем приступить к делению 30,0 на 54. Запишем данные столбиком и вычислим результат:

Повторение остатка дает нам в итоге число 0,(5), которое является периодической десятичной дробью.

Ответ: 3:5,4=0,(5). 

Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и др

Согласно уже изученным правилам деления обыкновенных дробей, деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1/1000, 1/100, 1/10 и др. Получается, чтобы выполнить деление, в данном случае достаточно просто перенести запятую на нужное количество цифр. Если значений в числе не хватит для переноса, нужно дописать нужное количество нулей.

Пример 10

Так, 56,21:10=5,621, а 0,32:100 000=0,0000032. 

В случае с бесконечными десятичными дробями мы поступаем таким же образом.

Пример 11

Например, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374….

Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и др

Воспользовавшись тем же правилом, мы можем так же разделить дроби на указанные значения. Это действие будет аналогично умножению на 1000, 100, 10 соответственно. Для этого мы переносим запятую на одну, две или три цифры в зависимости от условий задачи и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.

Пример 12

К примеру, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000.

Это правило действует и в случае с бесконечными десятичными дробями. Советуем только быть внимательными с периодом дроби, которая получается в ответе.

Так, 7,5(716):0,01=757,(167), поскольку после того, как мы перенесли запятую в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, у нас получилось 757,167167….

Если же у нас в примере непериодические дроби, то все обстоит проще: 394,38283…:0,001=394382,83….

Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот

Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями. Для этого надо заменить десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число записать в виде неправильной дроби.

Если мы делим непериодическую дробь на обыкновенную либо на смешанное число, нужно поступить наоборот, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей им десятичной дробью.

Опиши задание Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/delenie-desjatichnyh-drobej/

Обыкновенные и десятичные дроби и действия над ними

Как решать двойные дроби. Остаток всегда меньше делителя. Арифметические действия над десятичными дробями

Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное – разбираться во всем по порядку.

Зачем нужны дроби?

Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.

Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.

Кстати, эти дольки – уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.

Что такое «дробь»?

Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.

По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.

В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.

Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.

Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.

Какие подвиды имеют указанные виды дробей?

Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.

  1. Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.

  2. Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.

  3. Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.

  4. Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.

  5. Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.

У десятичных дробей есть всего два подвида:

  • конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);

  • бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).

Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?

Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.

В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.

Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается.

Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5.

Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.

Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13.

Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить.

В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?

Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.

Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.

Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?

В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.

Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.

Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.

Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.

  • Сосчитать цифры дробной части до периода. Они будут указывать количество нулей в знаменателе.

  • Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.

  • Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.

  • Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.

Например, 0,5(8) – запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.

Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.

Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?

Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.

Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.

Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.

  1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей.

  2. Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.

  3. Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.

  4. Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.

  5. Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.

  6. В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.

  7. Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».

  8. Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.

Умножение и деление

Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.

  1. При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.

  2. Перемножить числители.

  3. Перемножить знаменатели.

  4. Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.

  5. При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

  6. Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).

  7. В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.

  1. Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.

  2. Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.

  3. Сложить (вычесть) как натуральные числа.

  4. Снести запятую.

Умножение и деление

Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.

  1. Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.

  2. Умножить, как натуральные числа.

  3. Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.

  4. Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.

  5. На то же число умножить делимое.

  6. Разделить десятичную дробь на натуральное число.

  7. Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.

Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?

Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.

Первый путь: представить обыкновенные десятичными

Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.

Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными

Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.

Источник: https://FB.ru/article/320814/obyiknovennyie-i-desyatichnyie-drobi-i-deystviya-nad-nimi

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.